多 题 一 解

王志成

在我们学习中常见一题多解，有时也会遇到多题一解的情况，下面我们就学习以下几类不同问题的统一解法：

一、对称问题

例1、求关于直线对称后的函数解析式。

解：设上的任意一点关于对称后的点为，则点在对称后的函数图像上。

  得 代入中，

得：，所以对称后的函数是。

点评：对称包括点对称和轴对称，关于原点对称是特殊的点对称，关于轴、轴以及是特殊的轴对称。其对称变换的代入做法都源于上法。

二、平移问题

例2、求按平移后的函数解析式。

解：设上的任意一点按平移后的点为，则点在平移后的函数图像上。

即 得代入中，

得：，所以平移后的函数是。

点评：平移变换包括左右平移（左+右-）和上下平移（上+下-），向量平移与左右、上下平移是统一的。上例也可处理成：先向左平移1个单位得，再向上平移2个单位得。

三、伸缩问题

例3、求的纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍得到的函数解析式。

解：设上的任意一点伸缩变换后的点为，则点在变换后的函数图像上。

      即代入中，

得：，所以变换后的函数是。

点评：由此可知一般性结论，横坐标变成原来的倍可得，纵坐标变成原来的倍可得即，只需给的系数变化，与其它无关。

四、相关点求轨迹问题

例4、是抛物线上一动点，以为一边（为原点），作正方形，求动点的轨迹方程。

解：设动点  是正方形，

即 代入中，

得：，所以动点的轨迹方程是。

点评：相关点求轨迹方程的实质，就是用所求动点表示已知动点，然后代入已知方程中，即得所求。

   此法有助于更好地理解图像变换的代入做法，应用广泛。希望对学生有所帮助。